Дан центрально-симметричный октаэдр $ABCA'B'C'$ (пары $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$ противоположны), такой, что суммы плоских углов при каждой из вершин октаэдра равны $240^{\circ}$. В треугольниках $ABC$ и $A'BC$ отмечены точки Торричелли $T_1$ и $T_2$. Докажите, что расстояния от $T_1$ и $T_2$ до $BC$ равны.

   Решение

Тема:    [ Задачи на движение ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Расстояние между пунктами A и B равно 40 км. Пешеход вышел из A в 4 часа. Когда он прошёл половину пути, его догнал велосипедист, который выехал из A в 7:20. Через час после этого пешеход встретил другого велосипедиста, который выехал из B в 8:30. Скорости велосипедистов одинаковы. Определить скорость пешехода.

Решение

  Второй велосипедист был в пути на 1⅙ часа меньше, чем первый (к моменту встречи второго велосипедиста с пешеходом). Если бы он выехал одновременно с первым велосипедистом, то был бы в середине пути на час раньше момента своей встречи с пешеходом. Следовательно, ему понадобилась ⅙ часа, чтобы проехать путь от места встречи с пешеходом до середины пути. Это же расстояние пешеход проходит за час. Поэтому скорость велосипедиста в 6 раз больше скорости пешехода.
  На 20 км пешеход затратил времени на  7⅓ – 4 = ¹⁰/₃  часа больше, чем первый велосипедист. Значит, он прошёл 20 км за  ⁶/₅·¹⁰/₃ = 4 часа.

Ответ

5 км/ч.

Источники и прецеденты использования