Зачеркните все шестнадцать точек, изображённых на рисунке, шестью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя отрезков по линиям сетки.

   Решение

Доказать, что если  a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a₁₀,  то   ¹/₆ (a₁ + ... + a₆) ≤ ¹/₁₀ (a₁ + ... + a₁₀).

   Решение

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенство:  2ⁿ > n.

Решение 1

Заметим, что  (a – 1)(b – 1) ≥ 1  при  a, b ≥ 2.  Отсюда  ab ≥ a + b.  Следовательно,  2ⁿ ≥ 2 + 2 + ... + 2 = 2n > n.

Решение 2

  Применим индукцию. База:  2¹ > 1.
  Шаг индукции.  2ⁿ⁺¹ > 2n = n + n ≥ n + 1.

Источники и прецеденты использования