В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где  n > 3)?

   Решение

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Решение

x² + y² ≤ (x + y)² = 100.  Это значение достигается при  x = 10,  y = 0.
2(x² + y²) = (x + y)² + (x – y)² ≥ 100.  Это значение достигается при  x = y = 5.

Ответ

Максимальное значение равно 100, минимальное – 50.

Замечания

Можно также воспользоваться неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим.

Источники и прецеденты использования