Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

   Решение

Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Незнайка не знает о существовании операций умножения и возведения в степень. Однако он хорошо освоил сложение, вычитание, деление и извлечение квадратного корня, а также умеет пользоваться скобками. Упражняясь, Незнайка выбрал три числа 20, 2 и 2 и составил выражение $\sqrt{(2+20):2}$. А может ли он, используя точно те же три числа 20, 2 и 2, составить выражение, значение которого больше 30?

Решение

$\frac{20}{2-\sqrt{2}}=\frac{20(2+\sqrt{2})}{2}=20+10\sqrt{2}>20+10.$ Есть и другие решения.

Ответ

Может.

Замечания

С помощью вычитания, деления и извлечения квадратного корня из чисел $20$, $2$ и $2$ можно получить сколь угодно большое число, взяв дробь $\frac{20}{\sqrt[2^n]{2} - \sqrt[2^{n+1}]{2}}$ при достаточно большом $n$.

Источники и прецеденты использования