Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

Тема:    [ Теорема синусов ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Существует ли невырожденный треугольник АВС, для углов которого выполняется равенство: sinA + sinB = sinC?

Подсказка

Попробуйте умножить каждую часть равенства на выражение 2*R, где R радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Решение

Нет. Предположим, что такой треугольник существует. Тогда, умножив каждую часть равенства на выражение 2*R, где R радиус окружности, описанной около треугольника АВС, получим равенство ВС + АС = АВ, которое противоречит неравенству треугольника.

Ответ

не существует.

Источники и прецеденты использования