В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 2 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

Подсказка

Диагональ не меньше высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Диагональ прямоугольника является наклонной, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Следовательно, диагональ не меньше высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, и наименьшее значение длины диагонали достигается тогда, когда одна из диагоналей совпадает с высотой треугольника.

Источники и прецеденты использования