Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам x и y он вычисляет x + y, x − y и (при x ≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

   Решение

Тема:    [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Площади треугольников ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ равны S, S₁, S₂ соответственно, причем  AB = A₁B₁ + A₂B₂, AC = A₁C₁ + A₂C₂, BC = B₁C₁ + B₂C₂. Докажите, что  S 4.

Решение

Воспользуемся формулой Герона:  S² = p(p - a)(p - b)(p - c). Так как  p - a = (p₁ - a₁) + (p₂ - a₂), a  (x + y)² 4xy, то  (p - a)² 4(p₁ - a₁)(p₂ - a₂). Аналогично  (p-b)² 4(p₁ - b₁)(p₂ - b₂),(p-c)² 4(p₁ - c₁)(p₂ - c₂) и  p² 4p₁p₂. Перемножая эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования