Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

   Решение

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂; B — точка окружности S, а K₁ и K₂ — вторые точки пересечения прямых A₁B и A₂B с окружностями S₁ и S₂. Докажите, что если прямая K₁K₂ касается окружности S₁, то она касается и окружности S₂.

Решение

Проведем прямую l₁, касающуюся S₁ в точке A₁. Прямая K₁K₂ касается S₁ тогда и только тогда, когда  (K₁K₂, K₁A₁) = (K₁A₁, l₁). Ясно также, что  (K₁A₁, l₁) = (A₁B, l₁) = (A₂B, A₁A₂). Аналогично прямая K₁K₂ касается S₂ тогда и только тогда, когда  (K₁K₂, K₂A₂) = (A₁B, A₁A₂). Остается заметить, что если  (K₁K₂, K₁A₁) = (A₂B, A₁A₂), то  (K₁K₂, K₂A₂) = (K₁K₂, A₂B) = (K₁K₂, A₁B) + (A₁B, A₁A₂) + (A₁A₂, A₂B) = (A₁B, A₁A₂).

Источники и прецеденты использования