Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Тема:    [ Инварианты ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A₁,..., A_n. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

Решение

Пусть S_n — окружность, построенная на n-м шаге, O_n — ее центр. Рассмотрим величину F_n = (R² - O_nA_i²), где суммирование ведется только по точкам, оказавшимся внутри окружности S_n. Будем обозначать точки, лежащие внутри окружностей S_n и S_{n + 1}, буквами B с индексом; точки, лежащие внутри окружности S_n, но вне окружности S_{n + 1}, буквами C, а точки, лежащие внутри окружности S_{n + 1}, но вне окружности S_n, буквами D. Тогда F_n = (R² - O_nB_i²) + (R²-O_nC_i²) и  F_{n + 1} = (R² - O_{n + 1}B_i²) + (R² - O_{n + 1}D_i²). Так как точка O_{n + 1} является центром масс системы точек B и C, то O_nB_i² + O_nC_i² = qO_nO_{n + 1}² + O_{n + 1}B_i² + O_{n + 1}C_i², где q — общее количество точек B и C. Следовательно, F_{n + 1} - F_n = qO_nO_{n + 1}² + (R² - O_{n + 1}D_i²) - (R² - O_{n + 1}C_i²). Все три слагаемых неотрицательны, поэтому F_{n + 1}F_n. В частности, F_nF₁ > 0, т. е. q > 0.
Центров масс различных наборов данных точек конечное число, поэтому различных положений окружностей S_i конечное число. Следовательно, F_{n + 1} = F_n для некоторого n, а значит, qO_nO_{n + 1}² = 0, т. е. O_n = O_{n + 1}.

Источники и прецеденты использования