Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?
Решение
|
|
 |
Условие
Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.Решение
Число $11^k$ является $n$-значным, если $10^{n-1} < 11^k < 10^n$, т. е. $n-1 < k\lg 11 < n$. Значит, $n=[k\lg 11]+1$. Если $k\leqslant 24$, то $k\lg 11 < k+1$ (и значит, $n=k+1$), так как $ k (\lg 11 - 1)\leqslant 24\cdot 0,0415=0,996 < 1$. Если $k\geqslant 25$, то $k\lg 11 > k+1$ (и значит, $n \geqslant k+2$), так как $k(\lg 11 - 1) \geqslant 0,041\cdot 25=1,025 > 1$.
Комментарий.
Можно показать, что натуральные степени числа 11 не бывают $n$-значными числами для $n= \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]+1$, $k\in\mathbb{N}$, т. е. при $n=26,51,76,101,126,\ldots$
Последовательность вида $[\alpha n]$, где $\alpha>0$ иррациональное, называется последовательностью Битти в честь американского математика С. Битти, предложившего в 1926 г. такую задачу: доказать, что если $\alpha,\beta>1$ иррациональны и $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей $[\alpha n]$, $[\beta n]$, $n\in\mathbb{N}$ (назовем их сопряженными). Последовательности значений $n$, для которых степени числа $11$ есть среди $(n+1)$-значных чисел и для которых их нет, суть сопряженные последовательности Битти $[k\lg 11]$ и $\left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]$, $k\in\mathbb{N}$, соответственно ($\alpha=\lg 11=1{,}0413\ldots$, $\beta=\frac{\lg 11}{\lg 11-1}=25{,}1588\ldots$).
