На доске написаны в порядке возрастания два натуральных числа x и y  (x ≤ y).  Петя записывает на бумажке x² (квадрат первого числа), а затем заменяет числа на доске числами x и  y – x,  записывая их в порядке возрастания. С новыми числами на доске он проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

   Решение

Тема:    [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии с центром O окружность, проходящая через O, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через O, — в окружность.

Решение

Случай, когда окружность S проходит через O, фактически был разобран в предыдущей задаче (и формально следует из нее, так как (M^*)^* = M). Предположим теперь, что точка O не принадлежит S. Пусть A и B — точки пересечения окружности S с прямой, проходящей через O и центр S, а M — произвольная точка S. Докажем, что образом S является окружность с диаметром A^*B^*. Для этого достаточно показать, что A^*M^*B^* = 90^o. Но согласно задаче 28.1 OAM OM^*A^* и  OBM OM^*B^*, следовательно, OMA = OA^*M^* и  OMB = OB^*M^*, точнее, (OM, MA) = - (OA^*, M^*A^*) и  (OM, MB) = - (OB^*, M^*B^*) (чтобы не рассматривать различные случаи расположения точек, мы воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми, изложенными в гл. 2). Поэтому (A^*M^*, M^*B^*) = (A^*M^*, OA^*) + (OB^*, M^*B^*) = (OM, MA) + (MB, OM) = (MB, MA) = 90^o.

Источники и прецеденты использования