Задача 60469

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления на 3.

Решение

Какой бы ни был остаток при делении на 3 у наименьшего из таких чисел, у среднего он на 2 больше, а у наибольшего – на 1 больше. Значит, у тройки чисел-близнецов разные остатки при делении на 3, следовательно, одно из этих чисел делится на 3. Но мы ищем тройку простых чисел – значит, одно из них равно 3, и тогда другие – это 5 и 7.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.017