Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

   Решение

Темы:    [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Hа продолжениях катетов AB и AC за вершины B и C отложили равные отрезки BK и CL. E и F – точки пересечения отрезка KL и прямых, перпендикулярных KC и проходящих через точки B и A соответственно. БикЮ Докажите, что  EF = FL.

Решение 1

  Достроим равнобедренный прямоугольный треугольник AKL до квадрата AKDL (рис. слева). Пусть S и N точки пересечения прямых BE и AF с отрезком DL. Tогда прямоугольные треугольники ALN и AKC равны по катету и прилежащему острому углу. Значит,  LN = AC = AB.  Четырёхугольник ABSN – параллелограмм, следовательно,  SN = AB = LN.  Поскольку прямые BS и AN параллельны, то по теореме Фалеса  EF = FL.

           

Решение 2

  Проведём через точку L прямую, перпендикулярную KC. Пусть P – точка пересечения этой прямой и прямой AB (рис. справа). Tогда
∠AKC = ∠FAC = ∠ALP  и  AL = AK,  следовательно, прямоугольные треугольники ALP и AKC равны по катету и прилежащему острому углу. Значит,
AP = AC = AB.  Поскольку прямые BE, AF и PL параллельны, то по теореме Фалеса  EF = FL.

Источники и прецеденты использования