На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

   Решение

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Решение

  Пусть p – наименьший простой делитель числа n. Представим n в виде p^mk, где k не делится на p. По условию число  p + k – 1  является делителем n.
  Если  (p + k – 1, k) > 1,  то  (p – 1, k) = (l, k) > 1.  Таким образом, число k имеет какой-то делитель d,  2 ≤ d ≤ p – 1.  Противоречие с выбором числа p. Следовательно,  p + k – 1 = p^α.
  Пусть  α ≥ 2.  Тогда p² и k – взаимно простые делители числа n, то есть  p² + k – 1  – делитель числа n. При этом  p² + k – 1  взаимно просто с k, поскольку в противном случае k имеет общий делитель с  p² – 1 = 2(p – 1)· ½(p + 1),  что снова противоречит выбору числа p. Значит,  p² + k – 1 = p^β,  где  β ≥ 3.  Но тогда  p^β = p² + k – 1 = p² + (p + k – 1) – p = p(p + p^α–1 – 1),  что не делится на p². Противоречие.
  Следовательно,  k = 1,  то есть  n = p^m.  Нетрудно убедиться, что все такие числа удовлетворяют условию.

Ответ

n – степень нечётного простого числа.

Источники и прецеденты использования