Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит девять пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит девять пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка?

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Известно, что  p > 3  и p – простое число.
  а) Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел  p + 1  и  p – 1  делиться на 4?
  б) А на 5?

Решение

а) Рассмотрим числа  p – 1, p,  p + 1,  p + 2.  Из четырёх последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p и не  p + 2  (оба эти числа нечётны). Значит, одно из чисел  p + 1  или  p – 1  будет делиться на 4.

б) Например, при  p = 13  оба эти числа на 5 не делятся.

Ответ

а) Будет;  б) не обязательно.

Источники и прецеденты использования