Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN к площади треугольника MPB равно 15)/(5).

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.

Решение

Пусть прямая AB пересекает отрезок KN в точке T. Заметим, что отрезок KC пересекает отрезок MN в середине. Поскольку отрезок LT параллелен MN, то он отсекает от треугольника MKN подобный треугольник LKT, и поэтому KC пересекает LT тоже в середине. Следовательно, прямоугольные треугольники ANT и ANL равны по двум катетам. Поэтому  ∠LNA = ∠TNA = ∠KNA.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4.

Источники и прецеденты использования