Информация о задаче

Задача 58470

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ, y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'² + 2bx'y' + cy'² переходит в a₁x'² + 2b₁x''y'' + c₁y'², причём a₁c₁ - b₁² = ac - b².

Решение

При решении задачи 31.002 мы получили, что

a₁	= a cos² $\displaystyle \varphi$ - 2b cos $\displaystyle \varphi$ sin $\displaystyle \varphi$ + c sin² $\displaystyle \varphi$ ,
b₁	= a cos $\displaystyle \varphi$ sin $\displaystyle \varphi$ + b(cos² $\displaystyle \varphi$ - sin² $\displaystyle \varphi$ ) - c cos $\displaystyle \varphi$ sin $\displaystyle \varphi$ ,
c₁	= a sin² $\displaystyle \varphi$ + 2b cos $\displaystyle \varphi$ sin $\displaystyle \varphi$ + c cos² $\displaystyle \varphi$ .

Поэтому

a₁c₁ - b₁²	= (a + c)sin² $\displaystyle \varphi$ cos² $\displaystyle \varphi$ + ac(sin⁴ $\displaystyle \varphi$ + cos⁴ $\displaystyle \varphi$ ) -
	-2b(a - c)sin $\displaystyle \varphi$ cos $\displaystyle \varphi$ (sin² $\displaystyle \varphi$ - cos² $\displaystyle \varphi$ ) - 4b²sin² $\displaystyle \varphi$ cos² $\displaystyle \varphi$ -
	- (a + c)sin² $\displaystyle \varphi$ cos² $\displaystyle \varphi$ + 2ac sin² $\displaystyle \varphi$ cos² $\displaystyle \varphi$ -
	-2b(a - c)sin $\displaystyle \varphi$ cos $\displaystyle \varphi$ (cos² $\displaystyle \varphi$ - sin² $\displaystyle \varphi$ ) - b²(cos² $\displaystyle \varphi$ - sin² $\displaystyle \varphi$ )² =
	= ac - b².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Классификация кривых второго порядка
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.003