Равносильны ли сравнения  a ≡ b (mod m)  и   ac ≡ bc (mod mc)?

   Решение

Тема:    [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Обозначим через d_k количество таких домов в Москве, в которых живет не меньше k жителей, и через c_m - количество жителей в m-ом по величине населения доме. Докажите равенство c₁+c₂+c₃+... = d₁+d₂+d₃+... .

Подсказка

Подсчитайте число жителей Москвы двумя способами.

Решение

Ясно, что c₁+c₂+c₃+... равно числу жителей в Москве (просто суммируем число жителей по всем домам). Теперь для удобства представим себе, что в доме, где живет k человек, имеется k этажей, и на каждом из этажей живет по одному жителю. Тогда всего в Москве на первом этаже живет d₁ жителей, на втором этаже живет d₂ жителей, на k-ом этаже живет d_k жителей, и т.д. Таким образом, всего в Москве d₁+d₂+d₃+... жителей. Итак, нужное равенство следует из подсчета числа жителей Москвы двумя способами.

Источники и прецеденты использования