Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5ⁿ равна 2ⁿ.

Решение

  Проверка показывает, что из чисел  n = 1, 2, 3, 4, 5  подходит только  n = 3.
  Докажем, что при  n ≥ 6  сумма цифр числа 5ⁿ меньше чем 2ⁿ. Действительно, число 5ⁿ не более чем n-значно, поэтому сумма его цифр не превосходит 9n. С другой стороны,  2ⁿ ≥ 9n.   В самом деле, при  n = 6  оно верно, а при увеличении n на единицу правая часть этого неравенства увеличивается на 9, а левая – не менее чем на 64.

Ответ

n = 3.

Источники и прецеденты использования