Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.

   Решение

Темы:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?

Решение

Любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, короче, по крайней мере, одной из двух других сторон. Поэтому любая медиана или биссектриса короче хотя бы одной из сторон и, тем самым, короче наибольшей стороны. Это же верно для высот.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования