Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Дано 10 натуральных чисел: a1 < a2 < a3 < ... < a10. Доказать, что их наименьшее общее кратное не меньше 10a1.
РешениеНатуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с
положительными разностями d1, d2, d3, ... . Может ли случиться, что при этом сумма
1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).
Решение
|
|
 |
Условие
Числа a, b, c и d таковы, что a² + b² + c² + d² = 4. Докажите, что (2 + a)(2 + b) ≥ cd.
Решение
0 ≤ (2 + a + b)² = 4 + 4(a + b) + (a + b)² = 8 + 4a + 4b + 2ab + a² + b² – 4 = 2(2 + a)(2 + b) – c² – d² ≤ 2(2 + a)(2 + b) – 2cd, что и требовалось.
