Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

   Решение

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник A₀B₀C₀. На его сторонах A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ взяты точки C₁, A₁, B₁ соответственно. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂, и вообще, на сторонах A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n, треугольника A_nB_nC_n взяты точки C_{n + 1}, A_{n + 1}, B_{n + 1}. Известно, что

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁, содержится в треугольнике A_nB_nC_n при любом n.

Решение

То, что треугольник ABC содержится в треугольнике A₁B₁C₁, очевидно. Покажем, что точки A₂, B₂, C₂ являются точками пересечения сторон треугольника A₁B₁C₁ с прямыми A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁. Поместим в точки A₀, B₀, C₀ массы 1 + k³, k, k². Центром масс этой системы является точка пересечения отрезков A₀A₁ и B₁C₁. Действительно, C₁ — центр масс точек A₀ и B₀ с массами 1 и k, B₁ — центр масс точек A₀ и C₀ с массами k³ и k², A₁ — центр масс точек B₀ и C₀ с массами k и k². Таким образом, если A' — точка пересечения отрезков A₀A₁ и B₁C₁, то B₁A' : A'C₁ = (1 + k) : (k² + k³) = 1 : k², поэтому A' = A₂. Для точек B₂ и C₂ доказательство аналогично. Доказанный результат означает следующее. Для треугольника A₁B₁C₁ мы делаем то же самое, что и для треугольника A₀B₀C₀, лишь с заменой коэффициента k на 1/k²; треугольник ABC при этом остаётся тем же самым. Полученный треугольник A₂B₂C₂ снова содержит треугольник ABC и т.д.

Источники и прецеденты использования