Докажите, что хорды, удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.

   Решение

Темы:    [ Построение окружностей ] [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Постройте образ точки A при инверсии относительно окружности S с центром O.

Решение

Пусть точка A лежит вне окружности S. Проведем через A прямую, касающуюся S в точке M. Пусть MA' — высота треугольника OMA. Прямоугольные треугольники OMA и OA'M подобны, поэтому A'O : OM = OM : OA и  OA' = R²/OA, т. е. точка A' искомая. Если же A находится внутри S, то выполним построение в обратном порядке: проводим перпендикуляр AM к OA (точка M лежит на окружности). Тогда касательная к S в точке M пересекается с лучом OA в искомой точке A^*. Доказательство повторяется дословно.

Источники и прецеденты использования