Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?
б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?
в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная xi не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?
Решение
|
|
 |
Условие
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Решение
Пусть x1, ..., xn – суммы чисел в строках, y1, ..., ym – суммы чисел в столбцах. На пересечении i-й строки и j-го столбца стоит число xiyj. Поэтому сумма чисел в i-й строке равна xiy1 + xiy2 + ... + xiym. С другой стороны, эта сумма равна xi. Таким образом, xi = xi(y1 + y2 + ... + ym). Сумма y1 + y2 + ... + ym – это как раз сумма всех чисел в таблице. Если она не равна 1, то xi = 0. Аналогично доказывается, что в таком случае все числа x1, ..., xn, y1, ..., ym равны 0. Но тогда и все числа xiyj равны 0.
