Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.
б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.
Решение
|
|
 |
Условие
По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.
Решение
Оценка. Два нечётных числа не могут стоять рядом, так как они не делятся на свою чётную разность. Поэтому чётных чисел не меньше половины, то есть хотя бы 1008. Так как их больше половины, то какие-то два чётных числа стоят рядом. Из этой пары чётных чисел хотя бы одно кратно 4, иначе их разность кратна 4, а сами они – нет.
Предположим, у нас нет чисел, кратных 3. Тогда, из-за нечётности количества чисел, какие-то два соседних числа дают одинаковые остатки при делении на 3. Эти числа делятся на свою разность, которая кратна 3. Противоречие.
Следовательно, N ≥ 3·21009.
Пример. Числа 4, 3, 2, 1, 2, 1, ..., 2, 1, 2 удовлетворяют условию. Их произведение равно 3·21009.
Ответ
N = 3·21009.
Замечания
1. Пример единственный.
2. 5 баллов.
