На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?

   Решение

Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружность S треугольника ABC переходит в описанную окружность S₁ треугольника A₁B₁C₁. Так как окружность S₁ пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника ABC, для которого S₁ будет вписанной окружностью (рис.). Пусть r и r' — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A'B'C'; R и R₁ — радиусы окружностей S и S₁. Ясно, что rr' = R₁ = R/2. Равенство достигается, если треугольники A'B'C' и ABC совпадают, т. е. S₁ — вписанная окружность треугольника ABC. В этом случае AB₁ = AC₁, поэтому AB = AC. Аналогично AB = BC.

Источники и прецеденты использования