Найдите корень уравнения log10(1-x) = log1011 .

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁ и C₁. Пусть  a = S_AB1C1, b = S_A1BC1, c = S_A1B1C и  u = S_A1B1C1. Докажите, что

u³ + (a + b + c)u² 4abc.

   Решение

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.

Решение 1

Мальчик, стоящий на k-м месте слева назовёт число  20 – k,  поэтому сумма чисел, названных мальчиками, равна  200 – S_m,  где S_m – сумма их мест. Девочка, стоящая на n-м месте слева назовет число  n – 1,  поэтому сумма чисел, названных девочками, равна  S_d – 10,  где S_d – сумма мест девочек. Осталось проверить, что  200 – S_m = S_d – 10.  Но это действительно так, поскольку  S_m + S_d = 1 + 2 + ... + 20 = 210.

Решение 2

Поменяем местами соседних мальчика и девочку. При этом указанные суммы одновременно либо увеличатся на 1, либо уменьшатся на 1. Действуя таким образом, мы можем получить любую расстановку детей. А в каждой расстановке, где мальчики стоят симметрично девочкам относительно центра, равенство указанных сумм очевидно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования