Найдите наименьшее значение функции y = 3 sin x+x+5 на отрезке [-;0] .

   Решение

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

Темы:    [ Взвешивания ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Решение

  Пусть наибольший вес гири в некотором правильном наборе равен M (грамм). Это означает, что любая меньший вес может быть уравновешен меньшими гирями. Пусть вес всех меньших гирь равен m. Ясно, что  m ≥ M – 1.  Но если  m ≥ M,  то у нас есть два способа уравновесить вес  M + r,  где r – остаток от деления m на M. Следовательно,  m = M – 1.
  Пусть гирь максимального веса k штук. Тогда общий вес всех гирь  kM + m = 500,  значит, 501 делится на M. Определив M, можно определять вес второй по тяжести гири. Повторение предыдущего рассуждения показывает, что она должна быть делителем M. Но у 501 ровно два отличных от 1 и 501 делителя: 3 и 167, каждый из которых – простое число. Значит, имеется ровно два правильных набора, не считая тривиального из 500 гирь по 1 г: две гири по 167 г и 166 гирь
по 1 г; 166 гирь по 3 г и две гири по 1 г.

Ответ

а) Две гири по 167 г и 166 гирь по 1 г или 166 гирь по 3 г и две по 1 г.
б) 3 набора.

Замечания

баллы: 4 + 6

Источники и прецеденты использования