ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66613
УсловиеПользуясь равенством lg11=1,0413…, найдите наименьшее число n>1, для которого среди n-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11. РешениеЧисло 11k является n-значным, если 10n−1<11k<10n, т. е. n−1<klg11<n. Значит, n=[klg11]+1. Если k⩽, то k\lg 11 < k+1 (и значит, n=k+1), так как k (\lg 11 - 1)\leqslant 24\cdot 0,0415=0,996 < 1. Если k\geqslant 25, то k\lg 11 > k+1 (и значит, n \geqslant k+2), так как k(\lg 11 - 1) \geqslant 0,041\cdot 25=1,025 > 1. Комментарий. Можно показать, что натуральные степени числа 11 не бывают n-значными числами для n= \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]+1, k\in\mathbb{N}, т. е. при n=26,51,76,101,126,\ldots Последовательность вида [\alpha n], где \alpha>0 иррациональное, называется последовательностью Битти в честь американского математика С. Битти, предложившего в 1926 г. такую задачу: доказать, что если \alpha,\beta>1 иррациональны и \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей [\alpha n], [\beta n], n\in\mathbb{N} (назовем их сопряженными). Последовательности значений n, для которых степени числа 11 есть среди (n+1)-значных чисел и для которых их нет, суть сопряженные последовательности Битти [k\lg 11] и \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right], k\in\mathbb{N}, соответственно (\alpha=\lg 11=1{,}0413\ldots, \beta=\frac{\lg 11}{\lg 11-1}=25{,}1588\ldots). Ответ26. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке