Processing math: 22%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66613
Темы:    [ Показательные неравенства ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пользуясь равенством lg11=1,0413, найдите наименьшее число n>1, для которого среди n-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.

Решение

Число 11k является n-значным, если 10n1<11k<10n, т. е. n1<klg11<n. Значит, n=[klg11]+1. Если k, то k\lg 11 < k+1 (и значит, n=k+1), так как k (\lg 11 - 1)\leqslant 24\cdot 0,0415=0,996 < 1. Если k\geqslant 25, то k\lg 11 > k+1 (и значит, n \geqslant k+2), так как k(\lg 11 - 1) \geqslant 0,041\cdot 25=1,025 > 1.

Комментарий.

Можно показать, что натуральные степени числа 11 не бывают n-значными числами для n= \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right]+1, k\in\mathbb{N}, т. е. при n=26,51,76,101,126,\ldots

Последовательность вида [\alpha n], где \alpha>0 иррациональное, называется последовательностью Битти в честь американского математика С. Битти, предложившего в 1926 г. такую задачу: доказать, что если \alpha,\beta>1 иррациональны и \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей [\alpha n], [\beta n], n\in\mathbb{N} (назовем их сопряженными). Последовательности значений n, для которых степени числа 11 есть среди (n+1)-значных чисел и для которых их нет, суть сопряженные последовательности Битти [k\lg 11] и \left[k\frac{\lg 11}{\lg 11-1}\right], k\in\mathbb{N}, соответственно (\alpha=\lg 11=1{,}0413\ldots, \beta=\frac{\lg 11}{\lg 11-1}=25{,}1588\ldots).


Ответ

26.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2019
Номер 82
класс
1
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .