ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66923
УсловиеВ треугольнике ABC ∠A=60∘, AD – биссектриса. Построен равносторонний треугольник PDQ с высотой DA. Прямые PB и QC пересекаются в точке K. Докажите, что AK – симедиана треугольника ABC.
РешениеДокажем, что точки P и B лежат по разные стороны от AD. Действительно, в противном случае пусть U – точка пересечения AD и PD, а V – точка пересечения AC и QD. Тогда AUDV – ромб, поскольку ∠UAD=∠VAD=∠UDA=∠VDA=30∘. Применяя теорему Паппа к точкам (P,A,Q) и (B,D,C), получим, что PB∥QC, что противоречит условию задачи (см. рис.). Теперь заметим, что по теореме об изогоналях точки пересечения прямых PB и QC, PC и QB изогональны относительно угла A. Но, как показано выше, прямые PC и QB параллельны, а поскольку AP=AQ, то они параллельны медиане треугольника ABC, откуда и получаем утверждение задачи. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке