Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66923
Темы:    [ Изогональное сопряжение ]
[ Биссектриса угла ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Уткин А.

В треугольнике ABC A=60, AD – биссектриса. Построен равносторонний треугольник PDQ с высотой DA. Прямые PB и QC пересекаются в точке K. Докажите, что AK – симедиана треугольника ABC.

Решение

Докажем, что точки P и B лежат по разные стороны от AD. Действительно, в противном случае пусть U – точка пересечения AD и PD, а V – точка пересечения AC и QD. Тогда AUDV – ромб, поскольку UAD=VAD=UDA=VDA=30. Применяя теорему Паппа к точкам (P,A,Q) и (B,D,C), получим, что PBQC, что противоречит условию задачи (см. рис.).

Теперь заметим, что по теореме об изогоналях точки пересечения прямых PB и QC, PC и QB изогональны относительно угла A. Но, как показано выше, прямые PC и QB параллельны, а поскольку AP=AQ, то они параллельны медиане треугольника ABC, откуда и получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 11 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .