Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66937
Тема:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямая проходящая через середину его высоты CH и вершину A пересекает CB в точке K. Пусть L – середина BC, а T – точка на отрезке AB такая, что ATK=LTB. Известно, что BC=1. Найдите периметр треугольника KTL.

Решение

Пусть точки M, N симметричны L относительно AB и AC соответственно. Тогда AM=AL=AN и MAN=2BAC. В прямоугольных треугольниках ABC и ACH прямые AK и AL – медианы, следовательно, CAK=LAB и NAK=NAC+CAK=CAL+LAB=BAC. Значит, AK – биссектриса угла MAN и KM=KN (см. рис.). С другой стороны, KM=KT+TL, т.е. периметр треугольника KTL равен KM+KL=NL=BC=1.


Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 1 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .