Задача 67097

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

Решение

Пусть $PQRS$ – трапеция, отношение оснований $PS$ и $QR$ которой меньше 2. На продолжениях боковой стороны $PQ$ за точки $P$ и $Q$ возьмем точки $A$ и $K$ соответственно так, что $PA=PQ=2QK$. На продолжениях боковой стороны $RS$ за точки $R$ и $S$ возьмем точки $M$ и $C$ соответственно так, что $CR=RS=2SM$. Пусть прямые $CK$ и $QR$ пересекаются в точке $B$, а прямые $AM$ и $PS$ – в точке $D$. Тогда легко видеть, что $AM=MD$, $BK=KC$, середины $N$, $L$ отрезков $AB$, $CD$ лежат на прямых $PS$, $QR$ соответственно и $QR:BL=PS:DN=PQ:AK=RS:CM=2/5$.

Ответ

Нет.

Замечания

Можно показать, что все четырехугольники, удовлетворяющие условию, строятся описанным способом и, следовательно, длина средней части составляет 2/5 длины всего отрезка.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
Заочный тур
задача
Номер	12 [8-11 кл]