Главная аудитория фирмы "Рога и копыта" представляет собой квадратный зал из восьми рядов по восемь мест. 64 сотрудника фирмы писали в этой аудитории тест, в котором было шесть вопросов с двумя вариантами ответа на каждый. Могло ли так оказаться, что среди наборов ответов сотрудников нет одинаковых, причем наборы ответов любых двух людей за соседними столами совпали не больше, чем в одном вопросе? (Столы называются соседними, если они стоят рядом в одном ряду или друг за другом в соседних рядах.)

   Решение

Когда Незнайку попросили придумать задачу для математической олимпиады в Солнечном городе, он написал ребус (см. рисунок). Можно ли его решить? (Разным буквам должны соответствовать разные цифры.)

   Решение

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S₁ (точка Q лежит на S₂), а через точку B -- касательная BS к окружности S₂ (точка S лежит на S₁). Прямые BQ и AS пересекают окружности S₁ и S₂ в точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.

Решение

Из равенства угла между касательной и хордой соответствующему вписанному углу следует, что (AB, BC) = (AQ, QB) и (BA, AQ) = (BS, SA). Поэтому (BA, AC) = (AB, BQ), а значит, PS| QR. Далее, (AP, PQ) = (AB, BQ) = (BA, AS) = (BR, RS), поэтому PQ| SR.

Источники и прецеденты использования