В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (a + b + c + d)² ≤ 4(a² + b² + c² + d²).

   Решение

Темы:    [ Математическая логика (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

На острове рыцарей и лжецов путешественник пришёл в гости к своему знакомому рыцарю и увидел его за круглым столом с пятью гостями.
– Интересно, а сколько среди вас рыцарей? – спросил он.
– А ты задай каждому какой-нибудь вопрос и узнай сам, – посоветовал один из гостей.
– Хорошо. Скажи мне каждый: кто твои соседи? – спросил путешественник.
На этот вопрос все ответили одинаково.
– Данных недостаточно! – сказал путешественник.
– Но сегодня день моего рождения, не забывай об этом, – сказал один из гостей.
– Да, сегодня день его рождения! – сказал его сосед.
И путешественник смог узнать, сколько за столом рыцарей. Действительно, сколько же их?

Решение

  Если бы каждый сказал: "Оба моих соседа – рыцари", то можно было бы сразу определить, что все, сидящие за столом, – рыцари. Действительно, знакомый путешественника – рыцарь – сказал правду, значит, оба его соседа также сказали правду, и так далее, то есть каждый сказал правду.
  Если бы каждый сказал: "Мои соседи – рыцарь и лжец", то также можно было бы сразу определить количество рыцарей. Действительно, знакомый путешественника сказал правду, значит, его соседи – рыцарь и лжец. Сосед-рыцарь также сказал правду, значит, другой его сосед – лжец. А сосед-лжец солгал, и значит, оба его соседи рыцари. Продолжая таким образом, получим, что за столом: две пары рыцарей, сидящих рядом, и два лжеца между ними.
  Следовательно, каждый сказал: "Оба моих соседа лжецы". Это возможно в двух случаях:
     1) рыцари и лжецы сидели через одного;
     2) соседи рыцарей – лжецы, а соседи лжецов – рыцарь и лжец, то есть за столом – два рыцаря и четыре лжеца.
  Так как двое сидящих рядом сказали одно и то же про день рождения, то первый случай невозможен. Таким образом, за столом – два рыцаря.

Ответ

Два рыцаря.

Источники и прецеденты использования