На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?

   Решение

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что существует линия длины +1 , которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади S .

Решение

Докажем, что такой линией является полуокружность. Выпуклая фигура, покрывающая полуокружность, должна содержать в себе полукруг, ограниченный данной полуокружностью, иначе фигура не будет выпуклой. Если возьмем полуокружность длиной , то площадь соответствующего полукруга будет S . Действительно, площадь полукруга равна π r²/2 , длина полуокружности =π r . Найдя из последнего равенства радиус данной полуокружности и подставив значение r²=2S/π в формулу для площади полукруга, получим наше утверждение. Таким образом, чтобы покрыть полуокружность большей длины, чем +1 , требуется фигура, имеющая площадь большую, чем S .

Источники и прецеденты использования