Версия для печати
Убрать все задачи

---

Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:

1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;

2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).

Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Ломаные внутри квадрата ] [ Неравенство Коши ] [ Симметриия и неравенства и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

Решение

  Спроектируем четыре отрезка, соединяющие точки, лежащие на боковых гранях, на нижнюю грань куба. При этом длины отрезков не увеличатся. Мы получили четырёхугольник, вписанный в единичный квадрат. Докажем, что его периметр не меньше    .   Аналогично оцениваются суммы длин ещё двух четвёрок отрезков.
  Проекция отрезка отсекает от квадрата прямоугольный треугольник и служит его гипотенузой. Из неравенства  2(a² + b²) ≥ (a + b)²  следует, что длина гипотенузы не меньше полусуммы катетов, умноженной на    .   Поэтому сумма длин четырёх этих проекций не меньше полупериметра грани, умноженного на    ,   то есть не меньше   .

Замечания

1. Можно также сослаться на известный факт: периметр четырёхугольника, вписанного в прямоугольник (по вершине на каждой стороне), не меньше удвоенной диагонали прямоугольника (см. задачу 108606).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования