На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

Решение

Пусть  a < b < c  – длины сторон треугольника. Покажем, что найдётся такое число x, что отрезки длин  a + x,  b + x,  c + x  – стороны прямоугольного треугольника. Положим  P(x) = (x + a)² + (x + b)² – (x + c)².  Поскольку  P(c – a – b) = (c – b)² + (c – a)² – ((c – a) + (c – b))² ≤ 0,  трёхчлен P(x) имеет корни. Пусть x₁ – больший корень P(x), тогда  x₁ ≥ c – a – b.  Следовательно,  a + x₁ > a + (c – a – b) = c – b > 0.  Поэтому искомый треугольник существует.

Источники и прецеденты использования