На химической конференции присутствовало k учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: "Кем является такой-то: химиком или алхимиком?" (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за 2k − 3 вопросов.

   Решение

Темы:    [ Признаки делимости (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9 Название задачи: Делимость на 120.

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

Решение

n⁵ – 5n³ + 4n = n(n² – 1)(n² – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2).  Из пяти последовательных чисел одно делится на 5, по крайней мере одно – на 3, и два числа являются соседними чётными числами, одно из которых делится на 2, а другое на 4. Окончательно данное выражение делится на  2·4·3·5 = 120.

Источники и прецеденты использования