Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах  AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что  AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Метод усреднения ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Решение

Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму S= . Выберем такую нумерацию точек B_i , что соответствующая сумма S максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой B_i и B_j обозначены B_j и B_i и ее сумму S' . По предположению максимальности S S' , но

S-S'=· + · - · - · 0.
Преобразуя, получим
(-)· (-)= A_jA_i· 0. (*)
Итак, в нумерации с максимальным S неравенство (*) выполняется для любых i и j . А это равносильно условию задачи.

Источники и прецеденты использования