Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чук и Гек наряжали елку. Чтобы они не подрались, мама выделила каждому из них по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как Вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  AA₁ и BB₁ – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что  B₁K || BC  и  MA₁ || AC.  Докажите, что  ∠AA₁K = ∠BB₁M.

Решение

  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно,  ∠B = ∠A₁B₁C = ∠MA₁B₁.  Аналогично  ∠B = ∠AKB₁.  Следовательно, четырёхугольник MKA₁B₁ – вписанный. Тогда  ∠KB₁M = ∠KA₁M.  Из параллельности прямых и равенства вписанных углов в четырёхугольнике ABA₁B₁ получим, что  ∠MA₁A = ∠A₁AB₁ = ∠B₁BA₁ = ∠KB₁B.  Следовательно,  ∠BB₁M = ∠BB₁K + ∠KB₁M = ∠MA₁A + ∠KA₁M = ∠AA₁K.

  В случае, когда точки M и K располагаются на стороне AB в другом порядке, решение аналогично, только искомые углы являются не суммой рассмотренных углов, а их разностью.

Источники и прецеденты использования