По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел
равна 1. Найти эти числа.

   Решение

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

   Решение

Тема:    [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Решение

x² + y² ≤ (x + y)² = 100.  Это значение достигается при  x = 10,  y = 0.
2(x² + y²) = (x + y)² + (x – y)² ≥ 100.  Это значение достигается при  x = y = 5.

Ответ

Максимальное значение равно 100, минимальное – 50.

Замечания

Можно также воспользоваться неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим.

Источники и прецеденты использования