Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1.
Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?

   Решение

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.

Решение

Покажем, что среди данных чисел не может быть больше четырёх попарно различных чисел. Объединим равные числа в группы, выберем в каждой группе по одному числу и расположим выбранные числа в порядке убывания: a > b > c > d > e > .... Числа a, b, c, d по условию образуют геометрическую прогрессию. Но ab > cd и ac > bd, поэтому ad = bc, т.е. d = bc/a. Те же самые рассуждения показывают, что e = bc/a.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования