а) На сторонах треугольника ABC построены собственно подобные треугольники A₁BC, CAB₁ и BC₁A. Пусть A₂, B₂ и C₂ — соответственные точки этих треугольников. Докажите, что A₂B₂C₂ A₁BC.
б) Докажите, что центры правильных треугольников, построенных внешним (внутренним) образом на сторонах треугольника ABC, образуют правильный треугольник.

   Решение

Темы:    [ Уравнение плоскости ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).

Подсказка

Как задать полупространство с помощью неравенства?

Решение

Нетрудно убедиться, что одно из полупространств (то, в сторону которого "смотрит" нормальный вектор (1,2,3)), задается неравенством x+2y+3z>0, а другое полупространство - неравенством x+2y+3z<0. Таким образом, чтобы понять, в каком из полупространств лежит точка, нужно подставить ее координаты в выражение x+2y+3z и посмотреть на знак полученного числа. Для точек (1,2,-2) и (2,1,-1) имеем: 1+2*2+3*(-2)=-1<0 и 2+2*1+3*(-1)=1>0. Таким образом, они лежат в разных полупространствах.

Ответ

в разных.

Источники и прецеденты использования