Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Решение

Пусть P — точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ выпуклого семиугольника A₁...A₇. Одна из диагоналей A₃A₇ и A₃A₆, для определенности диагональ A₃A₆, не проходит через точку P. Точек пересечения диагоналей шестиугольника A₁...A₆ конечное число, поэтому вблизи точки A₇ можно выбрать такую точку A₇', что прямые A₁A₇',..., A₆A₇' не проходят через эти точки, т. е. семиугольник A₁...A₇' неособый.

Источники и прецеденты использования