Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Из набора гирь весом 1, 2, ..., 26 выделить шесть гирь так, чтобы среди них не было выбрать двух кучек равного веса.
Доказать, что нельзя выбрать семь гирь, обладающих тем же свойством.
Решение
|
|
 |
Условие
Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.
Решение
Пусть Крош живет на расстоянии x от ближайшего к нему угла пруда: AК = x. Тогда расстояние БВ от Бараша до его угла пруда равно 300 – x.
По условию ВЛ = 900 – ВК = 300 + x (так как 900 – это ровно половина периметра пруда, каким из двух путей идти Лосяшу до Кроша, неважно),
АН = 900 – AБ = 600 – x. Осталось заметить, что треугольники АНБ и ВКЛ равны по углу и двум прилежащим к нему сторонам (AБ = 300 + x = BЛ,
AН = ВК). Значит, равны и их соответствующие стороны ЛК и БН.
Замечания
1. То, что Нюша живёт на стороне AC, а не на стороне BC видно из того, что 600 – x < 600 (после того, как Бараш прошел 300 + x до вершины A, ему остаётся до Нюши еще 600 – x < AC). Аналогично, Лосяш живёт именно на стороне BC.
2. 6 баллов.
