Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же, и c – что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных:  m = a + ^b/₂  и  n = a – c.  Оказалось, что  m = 40.  Найдите n.

   Решение

Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.

Решение

Пусть  a < b < c.  Отметим на числовой оси всевозможные суммы чисел на пяти карточках. Для каждой из них отмечена и противоположная, поэтому отмеченные точки расположены симметрично относительно нуля. В частности, противоположны наибольшая (5с) и наименьшая (5а) суммы, значит,
5a + 5c = 0,  то есть  c = – a.  Противоположны и суммы, ближайшие к “крайним”:  (4a + b) + (4c + b) = 0.  Отсюда следует, что  b = 0.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4

Источники и прецеденты использования