В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

Решение

  Пусть p – разность между количеством ходов вида  (a + m, b + n)  и количеством ходов вида  (a – m, b – n),  q – вида  (a – m, b – n)  и  (a – m, b + n),  r – вида  (a + n, b + m)  и  (a – n, b – n),  s – вида  (a + n, b – m)  и  (a – n, b + n).  Разность двух чисел имеет ту же чётность, что и их сумма, поэтому чётность числа  p + q + r + s  совпадает с чётностью x.
  Поскольку фишка вернулась на исходное поле, то  (p + q)m + (r + s)n = 0,  (p – q)n + (r – s)m = 0.  Значит,  ^p+q/_r+s = ^r–s/_p–q,  то есть  p² – q² – r² + s² = 0.  Чётность левой части совпадает с чётностью суммы  p + q + r + s,  то есть эта сумма чётна. Следовательно, и x чётно.

Источники и прецеденты использования