Задача 56872

Тема:    [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

Решение

Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза данного треугольника. Если числа a и b нечетные, то a² + b² при делении на 4 дает остаток 2 и не может быть квадратом целого числа. Поэтому одно из чисел a и b четное, а другое нечетное; пусть для определенности a = 2p. Числа b и c нечетные, поэтому c + b = 2q и c - b = 2r. Следовательно  4p² = a² = c² - b² = 4qr. Если бы числа q и r имели общий делитель d, то на d делились бы числа  a = 2, b = q - r и c = q + r. Поэтому числа q и r взаимно просты, а так как p² = qr, то q = m² и r = n². В итоге получаем  a = 2mn, b = m² - n² и c = m² + n².
Легко проверить также, что если  a = 2mn, b = m² - n² и c = m² + n², то  a² + b² = c².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	5
Название	Целочисленные треугольники
Тема	Целочисленные треугольники
задача
Номер	05.037