Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км?

   Решение

Тема:    [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, AC и AB соответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружность S треугольника ABC переходит в описанную окружность S₁ треугольника A₁B₁C₁. Так как окружность S₁ пересекает все стороны треугольника ABC, то можно построить треугольник A'B'C' со сторонами, параллельными сторонам треугольника ABC, для которого S₁ будет вписанной окружностью (рис.). Пусть r и r' — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и A'B'C'; R и R₁ — радиусы окружностей S и S₁. Ясно, что rr' = R₁ = R/2. Равенство достигается, если треугольники A'B'C' и ABC совпадают, т. е. S₁ — вписанная окружность треугольника ABC. В этом случае AB₁ = AC₁, поэтому AB = AC. Аналогично AB = BC.

Источники и прецеденты использования