На асфальте нарисована полоса $1\times10$ для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побывать в каждом квадрате по одному разу и закончить маршрут в последнем квадрате. Аня и Варя обе прошли полосу, и каждый очередной прыжок Ани был на то же расстояние, что и очередной прыжок Вари. Обязательно ли они пропрыгали квадраты в одном и том же порядке?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что  y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь ^a/_x?

Решение

  Оценка. Первый способ.  y² = a²x² – a² + 1 < (ax)²,  значит,  y < ax.  Но y и ax – целые числа, поэтому  y ≤ ax – 1.  Следовательно,
a²x² – a² + 1 = y² ≤ (ax – 1)² = a²x² – 2ax + 1.  Стало быть,  2ax ≤ a², то есть  ^a/_x ≥ 2.
  Второй способ.  (ax – y)(ax + y) = a²x² – y² = a² – 1.  Числа  a² – 1  и  ax + y  положительны, поэтому число  k = ax – y  также положительно (и натурально). Следовательно,     Отсюда    поскольку  1 ≤ k ≤ a² – 1.  Итак,  2ax ≤ a²,  то есть  ^a/_x ≥ 2.

  Оценка достигается при  x > 100,  a = 2x,  y = ax – 1 = 2x² – 1.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования